Die Zinseszinsrechnung beschreibt, wie ein Kapital wächst, wenn die Zinsen am Ende jeder Periode dem Kapital zugeschlagen werden und in der Folgeperiode selbst wieder Zinsen tragen. Im Gegensatz zur einfachen Zinsrechnung wachsen die Erträge dadurch exponentiell statt linear. Die zentrale Formel lautet Kn = K0 · (1 + p/100)n und bildet die Grundlage für viele Berechnungen in der Finanzmathematik.
Inhaltsverzeichnis
Was ist der Zinseszins?
Beim Zinseszins werden die Zinsen einer Periode nicht ausgezahlt, sondern dem Kapital hinzugefügt. Im nächsten Jahr verzinst sich somit ein größeres Kapital. Dieser Effekt verstärkt sich von Jahr zu Jahr und wird umso bedeutender, je länger die Laufzeit und je höher der Zinssatz ist. Albert Einstein wird gern das Zitat zugeschrieben, der Zinseszins sei das achte Weltwunder – gemeint ist die enorme Wirkung über lange Zeiträume.
- K0 = Anfangskapital (Barwert)
- Kn = Endkapital nach n Jahren
- p = Zinssatz in Prozent pro Jahr
- n = Anzahl der Jahre (Laufzeit)
Der Ausdruck (1 + p/100) wird als Zinsfaktor bezeichnet und mit q abgekürzt. Die Formel lautet damit auch Kn = K0 · qn. Der Zinsfaktor gibt an, auf das Wievielfache ein Kapital innerhalb eines Jahres anwächst.
Rechenbeispiel und Umstellung
Ein Kapital von 1.000 Euro wird zu 3 % pro Jahr über 5 Jahre angelegt. Der Zinsfaktor beträgt q = 1,03. Eingesetzt in die Formel ergibt sich:
- K5 = 1.000 · 1,035
- 1,035 = 1,159274074…
- K5 = 1.000 · 1,159274 = 1.159,27 Euro
Der Zinsertrag beträgt also 159,27 Euro. Zum Vergleich: Bei einfacher Zinsrechnung ohne Zinseszins gäbe es nur 5 · 30 = 150 Euro Zinsen, also 1.150 Euro – die Differenz von 9,27 Euro ist allein dem Zinseszinseffekt geschuldet. Über längere Zeiträume wächst dieser Unterschied erheblich an.
Die Formel lässt sich umstellen, um andere Größen zu berechnen:
- Anfangskapital: K0 = Kn / (1 + p/100)n
- Laufzeit: n = log(Kn / K0) / log(1 + p/100)
So lässt sich etwa berechnen, welches Anfangskapital man heute anlegen muss, um nach einer bestimmten Zeit ein gewünschtes Zielkapital zu erreichen, oder wie viele Jahre eine Geldanlage bis zur Verdopplung benötigt. Für eine grobe Schätzung der Verdopplungszeit dient die bekannte 72er-Regel: Man teilt die Zahl 72 durch den Zinssatz. Bei 3 % ergibt sich somit eine Verdopplung nach rund 24 Jahren.
Abgrenzung zur einfachen Zinsrechnung
Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen jedes Jahr ausgezahlt oder zumindest nicht mitverzinst. Das Kapital wächst dadurch linear, also in jedem Jahr um denselben Betrag. Beim Zinseszins hingegen wächst es exponentiell, weil bereits gutgeschriebene Zinsen selbst wieder Zinsen erwirtschaften.
- Einfache Zinsen: Z = K0 · p/100 · n – im Beispiel 1.000 · 0,03 · 5 = 150 Euro.
- Zinseszins: 159,27 Euro – die Differenz wächst mit jedem weiteren Jahr.
- Je länger die Laufzeit, desto größer fällt der Vorsprung des Zinseszinses aus.
Häufige Fragen zur Zinseszinsrechnung
Was ist der Unterschied zur einfachen Zinsrechnung?
Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen stets nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet und nicht mitverzinst. Beim Zinseszins werden die Zinsen dem Kapital zugeschlagen, sodass das Kapital exponentiell statt linear wächst.
Wie berechne ich das Anfangskapital?
Man teilt das Endkapital durch den Zinsfaktor hoch n: K0 = Kn / (1 + p/100)n. Soll z. B. nach 5 Jahren bei 3 % ein Betrag von 1.159,27 Euro vorhanden sein, ergibt sich K0 = 1.000 Euro.
Was bedeutet der Zinsfaktor q?
Der Zinsfaktor q = 1 + p/100 fasst das Wachstum eines Jahres zusammen. Bei 3 % beträgt q = 1,03. Mit ihm lässt sich die Formel kompakt als Kn = K0 · qn schreiben.