Die binomischen Formeln sind drei feste Rechenregeln, mit denen sich Klammerausdrücke der Form (a + b)² oder (a + b)(a − b) schnell ausmultiplizieren oder umgekehrt in ein Produkt zerlegen lassen. Sie gehören zum Grundwerkzeug der Wirtschaftsmathematik und beschleunigen das Kopfrechnen, Faktorisieren und Vereinfachen von Termen erheblich.
Inhaltsverzeichnis
Was sind die binomischen Formeln?
Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, etwa (a + b). Quadriert man ein solches Binom, entsteht immer das gleiche Muster. Die drei Formeln lauten:
- 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- 2. binomische Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b²
- 3. binomische Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²
Der wichtigste Merksatz: Beim Quadrieren entsteht nicht nur a² + b², sondern zusätzlich der doppelte Mischterm 2ab. Genau dieser Term wird beim schnellen Rechnen am häufigsten vergessen.
Die drei Formeln durchgerechnet
Mit konkreten Zahlen lässt sich jede Formel leicht überprüfen. Wir setzen jeweils einfache Werte ein:
- 1. Formel mit a = 4, b = 3: (4 + 3)² = 4² + 2·4·3 + 3² = 16 + 24 + 9 = 49. Zur Kontrolle: (4 + 3)² = 7² = 49. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.
- 2. Formel mit a = 9, b = 2: (9 − 2)² = 9² − 2·9·2 + 2² = 81 − 36 + 4 = 49. Kontrolle: (9 − 2)² = 7² = 49.
- 3. Formel mit a = 8, b = 5: (8 + 5)(8 − 5) = 8² − 5² = 64 − 25 = 39. Kontrolle: 13 · 3 = 39.
Man sieht: Die Formel auf der linken Seite und das direkte Ausrechnen der Klammer ergeben stets denselben Wert. Genau diese Gleichheit macht die Formeln so zuverlässig.
Anwendung beim Ausmultiplizieren, Faktorisieren und Kopfrechnen
Die binomischen Formeln werden in drei Richtungen genutzt:
- Ausmultiplizieren: Aus (x + 6)² wird sofort x² + 12x + 36, ohne die Klammer zweimal auszuschreiben.
- Faktorisieren (rückwärts): Der Term x² − 49 ist nach der 3. Formel gleich (x + 7)(x − 7), denn 49 = 7². So wird aus einer Differenz ein Produkt.
- Kopfrechnen: 102² = (100 + 2)² = 100² + 2·100·2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. Und 97 · 103 = (100 − 3)(100 + 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9 991.
Gerade beim Kopfrechnen sparen die Formeln viel Zeit, weil große Multiplikationen auf einfache Quadrate und Differenzen zurückgeführt werden.
Häufige Fragen zu den binomischen Formeln
Warum heißt es „binomisch“?
Der Begriff stammt vom lateinischen „bi“ (zwei) und „nomen“ (Name, Glied). Ein Binom besteht aus zwei Gliedern, etwa a und b. Die Formeln beschreiben, was beim Quadrieren oder Multiplizieren solcher zweigliedrigen Ausdrücke passiert.
Welche Formel brauche ich zum Faktorisieren?
Meist die 3. binomische Formel. Sobald ein Term die Gestalt „Quadrat minus Quadrat“ hat, etwa x² − 25, lässt er sich in (x + 5)(x − 5) zerlegen. Das ist besonders beim Kürzen von Brüchen nützlich.
Was ist der häufigste Fehler?
Der häufigste Fehler ist das Weglassen des Mischterms 2ab. (a + b)² ist eben nicht a² + b², sondern a² + 2ab + b². Wer das beachtet, vermeidet die typischste Falle bei diesen Formeln.