Der Dreisatz ist eine der wichtigsten Rechenmethoden im kaufmännischen Alltag. Mit ihm berechnet man aus drei bekannten Größen eine vierte unbekannte Größe – immer dann, wenn zwei Werte in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Man unterscheidet den proportionalen, den antiproportionalen und den zusammengesetzten Dreisatz.
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen: über 1 rechnen
Das Grundschema des Dreisatzes besteht aus zwei Schritten. Zuerst rechnet man auf eine Einheit herunter („über 1 rechnen“), dann auf die gesuchte Menge hoch. Wichtig ist, vorher zu prüfen, ob die Größen proportional (je mehr, desto mehr) oder antiproportional (je mehr, desto weniger) zusammenhängen.
- Proportional: Mehr Ware kostet mehr Geld – beide Größen wachsen gemeinsam.
- Antiproportional: Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit – eine Größe wächst, die andere fällt.
Proportionaler und antiproportionaler Dreisatz
Beim proportionalen (geraden) Dreisatz dividiert man beim Schritt über 1 und multipliziert anschließend in die gleiche Richtung:
- Beispiel: 6 kg Kaffee kosten 48 €. Was kosten 9 kg?
- Über 1: 48 € ÷ 6 = 8 € pro kg.
- Hoch auf 9: 8 € · 9 = 72 €. Neun Kilogramm kosten also 72 €.
Beim antiproportionalen (ungeraden) Dreisatz wird über 1 multipliziert und danach dividiert, weil sich die Größen gegenläufig verhalten:
- Beispiel: 4 Arbeiter erledigen einen Auftrag in 9 Tagen. Wie lange brauchen 6 Arbeiter?
- Über 1 (1 Arbeiter): 4 · 9 = 36 Tage würde ein einzelner Arbeiter benötigen.
- Auf 6 Arbeiter: 36 ÷ 6 = 6 Tage. Mehr Arbeiter bedeuten weniger Zeit.
Zusammengesetzter Dreisatz
Beim zusammengesetzten Dreisatz ändern sich mehrere Größen gleichzeitig. Man löst ihn schrittweise, indem man eine Größe nach der anderen über 1 rechnet:
- Beispiel: 3 Maschinen produzieren in 8 Stunden 1 200 Teile. Wie viele Teile schaffen 5 Maschinen in 6 Stunden?
- Schritt 1 – pro Maschine: 1 200 ÷ 3 = 400 Teile je Maschine in 8 Stunden.
- Schritt 2 – pro Stunde: 400 ÷ 8 = 50 Teile je Maschine und Stunde.
- Schritt 3 – auf 5 Maschinen und 6 Stunden: 50 · 5 · 6 = 1 500 Teile.
Beide Größen – Maschinenzahl und Stundenzahl – wirken hier proportional auf die Produktionsmenge, deshalb wird in beiden Schritten multipliziert. Zur Kontrolle: 3 Maschinen schaffen in 8 Stunden 1 200 Teile, also genau die Ausgangsangabe. Bei mehr Maschinen und weniger Stunden steigt die Menge dennoch, weil der Zugewinn an Maschinen den Verlust an Zeit überwiegt. Wer jeden Zwischenschritt sauber notiert, vermeidet Vorzeichen- und Richtungsfehler.
Häufige Fragen zum Dreisatz
Woran erkenne ich proportional oder antiproportional?
Stellen Sie die Kontrollfrage: „Wenn die eine Größe steigt, steigt oder fällt dann die andere?“ Steigen beide gemeinsam, ist es proportional. Fällt die zweite, während die erste steigt, ist es antiproportional.
Warum rechnet man „über 1“?
Der Wert für eine einzelne Einheit ist die Brücke zwischen den Größen. Steht der Preis pro Kilogramm oder die Leistung pro Stunde fest, lässt sich daraus jede beliebige Menge berechnen – einfach durch Multiplikation oder Division.
Wann brauche ich den zusammengesetzten Dreisatz?
Immer dann, wenn sich mehr als eine Größe ändert, etwa Anzahl, Zeit und Menge gleichzeitig. Man zerlegt die Aufgabe in einzelne Dreisätze und rechnet Schritt für Schritt, bis nur noch die gesuchte Größe übrig ist.