Kritische Menge Aufgaben — Die kritische Menge (auch: Grenzmenge, Indifferenzmenge) gibt an, ab welcher Absatzmenge eine Alternative gegenüber einer anderen vorteilhaft wird. Diese Übungen decken die wichtigsten Anwendungsfälle ab.
Inhaltsverzeichnis
Begriff und Formel
Die kritische Menge ist der Punkt, an dem zwei Alternativen (z. B. zwei Produktionsverfahren, zwei Lieferanten) identische Gesamtkosten haben.
Kritische Menge x*: K₁(x) = K₂(x) → auflösen nach x
Aufgabe 1: Zwei Fertigungsverfahren
Verfahren A: Fixkosten 60.000 €, variable Kosten 20 €/Stück.
Verfahren B: Fixkosten 20.000 €, variable Kosten 40 €/Stück.
Ab welcher Menge ist Verfahren A günstiger?
Lösung Aufgabe 1
Gleichsetzen: 60.000 + 20x = 20.000 + 40x
40.000 = 20x
x* = 2.000 Stück
| Bereich | Günstigeres Verfahren |
|---|---|
| x < 2.000 Stück | Verfahren B (niedrigere Fixkosten) |
| x = 2.000 Stück | Indifferenz (gleiche Kosten) |
| x > 2.000 Stück | Verfahren A (niedrigere variable Kosten) |
Aufgabe 2: Eigenproduktion vs. Fremdbezug
Eigenproduktion: Fixkosten 45.000 €, variable Kosten 15 €/Stück.
Fremdbezug: kein Fixkostenanteil, Preis 30 €/Stück.
Ab welcher Menge lohnt sich die Eigenproduktion?
Lösung Aufgabe 2
45.000 + 15x = 30x
45.000 = 15x
x* = 3.000 Stück
→ Bei Bedarf von mehr als 3.000 Stück/Jahr: Eigenproduktion günstiger.
Bei weniger: Fremdbezug vorteilhaft (keine Fixkosten).
Aufgabe 3: Drei Alternativen
Drei Lieferanten: A (FK: 80.000, vK: 10), B (FK: 50.000, vK: 18), C (FK: 10.000, vK: 30). Welcher Lieferant ist wann optimal?
Lösung Aufgabe 3
Kritische Menge A/B: 80.000 + 10x = 50.000 + 18x → 30.000 = 8x → x₁ = 3.750
Kritische Menge B/C: 50.000 + 18x = 10.000 + 30x → 40.000 = 12x → x₂ = 3.333
| Menge | Optimal |
|---|---|
| x < 3.333 | C (niedrigste Fixkosten) |
| 3.333 ≤ x < 3.750 | B |
| x ≥ 3.750 | A (niedrigste variable Kosten) |
Merksatz
Bei der kritischen Menge gilt: Wer hohe Fixkosten hat, muss viele Stück absetzen, um seinen Kostenvorteil bei den variablen Kosten auszunutzen. Bei kleinen Mengen sind niedrige Fixkosten wichtiger.
Aufgabe 4: Maschine kaufen oder mieten
Ein Betrieb prüft zwei Optionen für eine Verpackungsmaschine.
Kauf: Fixkosten 90.000 € pro Jahr, variable Kosten 12 €/Stück.
Miete: Fixkosten 30.000 € pro Jahr, variable Kosten 24 €/Stück.
Ab welcher Jahresmenge ist der Kauf günstiger?
Lösung Aufgabe 4
Gleichsetzen der Gesamtkosten:
90.000 + 12x = 30.000 + 24x
60.000 = 12x
x* = 5.000 Stück
Probe bei x = 5.000: Kauf = 90.000 + 12 · 5.000 = 150.000 €; Miete = 30.000 + 24 · 5.000 = 150.000 €. Beide Verfahren kosten gleich viel.
| Bereich | Günstigere Option |
|---|---|
| x < 5.000 Stück | Miete (niedrigere Fixkosten) |
| x = 5.000 Stück | Indifferenz (gleiche Kosten) |
| x > 5.000 Stück | Kauf (niedrigere variable Kosten) |
Aufgabe 5: Vorteil in Euro berechnen
Es gelten dieselben Daten wie in Aufgabe 4 (Kauf: FK 90.000 €, kv 12 €; Miete: FK 30.000 €, kv 24 €). Wie hoch ist der Kostenvorteil des günstigeren Verfahrens bei einer geplanten Jahresmenge von 8.000 Stück?
Lösung Aufgabe 5
Da 8.000 > 5.000 (kritische Menge), ist der Kauf günstiger.
Kosten Kauf: 90.000 + 12 · 8.000 = 186.000 €
Kosten Miete: 30.000 + 24 · 8.000 = 222.000 €
Kostenvorteil: 222.000 − 186.000 = 36.000 €
Faustregel zur Kontrolle: Je Stück oberhalb der kritischen Menge spart der Kauf die Differenz der variablen Kosten (24 − 12 = 12 €). Bei 8.000 − 5.000 = 3.000 Stück über der Grenzmenge ergibt das 3.000 · 12 € = 36.000 € — dasselbe Ergebnis.
Häufige Fragen zur kritischen Menge
Was sagt die kritische Menge konkret aus?
Sie ist die Absatz- oder Produktionsmenge, bei der zwei Alternativen exakt gleich hohe Gesamtkosten verursachen. Unterhalb dieser Menge ist die Alternative mit den niedrigeren Fixkosten günstiger, oberhalb die mit den niedrigeren variablen Stückkosten.
Wie lautet die Formel für die kritische Menge?
Man setzt die beiden Kostenfunktionen gleich: K_A = K_B. Allgemein ergibt sich x = (Fix_B − Fix_A) ÷ (kv_A − kv_B). Wichtig ist, Fixkosten und variable Stückkosten der beiden Verfahren konsequent in derselben Reihenfolge einzusetzen.
Was passiert, wenn sich die Kostenkurven gar nicht schneiden?
Hat ein Verfahren sowohl die niedrigeren Fixkosten als auch die niedrigeren variablen Kosten, gibt es keine kritische Menge: Dieses Verfahren ist über den gesamten Mengenbereich günstiger. Eine sinnvolle Grenzmenge entsteht nur, wenn ein Verfahren bei den Fixkosten und das andere bei den variablen Kosten im Vorteil ist.